焦点三角形面积公式

双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot(θ/2)。双曲线有两种焦点。焦点的横（纵）座标达到c²=a² b²。

三角形的面积公式

S=1/2PF₁PF₂sinα

=b²sinα/(1-cosα)

=b²cot(α/2)

设∠F₁PF₂=α

双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1

由于P在双曲线上,由界定|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂²=PF₁² PF₂²-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|² 2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)²=(2a)² 2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)²-(2a)²]/2(1-cosα)

=2b²/(1-cosα)

双曲线焦点三角形特性

1双曲线焦三角形中,非焦端点的断线即为该顶角的内角平分线。

2双曲线焦三角形中,过非焦端点的切线与双曲线实轴两边点处断线交叉,则以两交点为直径的圆必过两焦点。

3双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。

4双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦端点同侧的实轴节点。

5双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的断线长为定值a c与a-c。

6双曲线焦三角形的非焦端点到其中切圆的切线长为定值a-c。

7双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为节点的焦半径比例为常数e。

拓展

椭圆

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1 K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1 1/K²）

双曲线

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1 K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1 1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

双曲线

(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1 x2 p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾角}

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1 K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1 1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

焦点弦是由2个在同一条直线里的 焦半径构成的。焦点弦长便是这俩 焦半径长总和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B二点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m，|ED|=n，则m n=|FD|。当且仅当，时取|CD|极小值2a。定律1 （配极理论原则），若点P的极线根据点Q，则点Q的极线也通过点P。

填补

焦点弦是由2个在同一条直线里的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线交叉形成的。而由于椭圆或双曲线里的点与焦点间的距离(即焦半径长)能用椭圆或双曲线离心率和该点至对应的准线间的距离来表示(圆锥曲线第二界定)。

因而，焦半径长能用该点横坐标来表示，与纵轴无关。这是一个很好的特性。焦点弦长便是这俩焦半径长总和。

此外，因为焦点弦通过焦点，其表达式可以由其斜率唯一明确，许多问题能够转化成并对斜率范畴或选值的讨论。(留意斜率不存在的状况！即垂直在x轴！)

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