向量积的几何意义是什么

向量积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

向量积代数法则

1反交换律：a×b=-b×a

2加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

3与标量乘法兼容：(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)

4不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

5两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0

证明

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积。

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